高中的数学知识点的整理

高中集合的数学知识点的整理

　　导语：高中数学中集合是一个个常考的知识点吗，也是我们高考中必得分的知识点，下面是小编为大家整理的高中数学集合的知识点整理。欢迎阅读，仅供参考，更多相关的知识，请关注CNFLA学习网的

　　高中集合的知识点归纳：

　　一、集合与简易逻辑

　　1.集合的元素具有确定性、无序性和互异性.

　　2.对集合 ， 时，必须注意到“极端”情况： 或 ;求集合的子集时是否注意到 是任何集合的子集、 是任何非空集合的真子集.

　　3.对于含有 个元素的有限集合 ，其子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数依次为

　　4.“交的补等于补的并，即 ”;“并的补等于补的交，即 ”.

　　5.判断命题的真假 关键是“抓住关联字词”;注意：“不‘或’即‘且’，不‘且’即‘或’”.

　　6.“或命题”的真假特点是“一真即真，要假全假”;“且命题”的真假特点是“一假即假，要真全真”;“非命题”的真假特点是“一真一假”.

　　7.四种命题中“‘逆’者‘交换’也”、“‘否’者‘否定’也”.

　　原命题等价于逆否命题，但原命题与逆命题、否命题都不等价.反证法分为三步：假设、推矛、得果.

　　注意：命题的否定是“命题的非命题，也就是‘条件不变，仅否定结论’所得命题”，但否命题是“既否定原命题的条件作为条件，又否定原命题的结论作为结论的所得命题” ?.

　　8.充要条件

　　二、函 数

　　1.指数式、对数式，

　　2.(1)映射是“‘全部射出’加‘一箭一雕’”;映射中第一个集合 中的元素必有像，但第二个集合 中的元素不一定有原像( 中元素的像有且仅有下一个，但 中元素的原像可能没有，也可任意个);函数是“非空数集上的映射”，其中“值域是映射中像集 的子集”.

　　(2)函数图像与 轴垂线至多一个公共点，但与 轴垂线的公共点可能没有，也可任意个.

　　(3)函数图像一定是坐标系中的曲线，但坐标系中的曲线不一定能成为函数图像.

　　3.单调性和奇偶性

　　(1)奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全相同.

　　偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性恰恰相反.

　　注意：(1)确定函数的奇偶性，务必先判定函数定义域是否关于原点对称.确定函数奇偶性的常用方法有：定义法、图像法等等.对于偶函数而言有： .

　　(2)若奇函数定义域中有0，则必有 .即 的定义域时， 是 为奇函数的必要非充分条件.

　　(3)确定函数的单调性或单调区间，在解答题中常用：定义法(取值、作差、鉴定)、导数法;在选择、填空题中还有：数形结合法(图像法)、特殊值法等等.

　　(4)既奇又偶函数有无穷多个( ，定义域是关于原点对称的任意一个数集).

　　(7)复合函数的单调性特点是：“同性得增，增必同性;异性得减，减必异性”.

　　复合函数的奇偶性特点是：“内偶则偶

　　，内奇同外”.复合函数要考虑定义域的变化。(即复合有意义)

　　4.对称性与周期性(以下结论要消化吸收，不可强记)

　　(1)函数 与函数 的图像关于直线 ( 轴)对称.

　　推广一：如果函数 对于一切 ，都有 成立，那么 的图像关于直线 (由“ 和的一半 确定”)对称.

　　推广二：函数 ， 的图像关于直线 (由 确定)对称.

　　(2)函数 与函数 的图像关于直线 ( 轴)对称.

　　(3)函数 与函数 的图像关于坐标原点中心对称.

　　推广：曲线 关于直线 的对称曲线是 ;

　　曲线 关于直线 的对称曲线是 .

　　(5)类比“三角函数图像”得：若 图像有两条对称轴 ，则 必是周期函数，且一周期为 .

　　如果 是R上的周期函数，且一个周期为 ，那么 .

　　特别：若 恒成立，则 .若 恒成立，则 .若 恒成立，则 .

　　三、数 列

　　1.数列的通项、数列项的项数，递推公式与递推数列，数列的通项与数列的前 项和公式的关系： (必要时请分类讨论).

　　注意： ; .

　　2.等差数列 中：

　　(1)等差数列公差的取值与等差数列的单调性.

　　(2) ; .

　　(3) 、 也成等差数列.

　　(4)两等差数列对应项和(差)组成的新数列仍成等差数列.

　　(5) 仍成等差数列.

　　(8)“首正”的递等差数列中，前 项和的最大值是所有非负项之和;

　　“首负”的递增等差数列中，前 项和的最小值是所有非正项之和;

　　(9)有限等差数列中，奇数项和与偶数项和的存在必然联系，由数列的总项数是偶数还是奇数决定.若总项数为偶数，则“偶数项和”-“奇数项和”=总项数的一半与其公差的积;若总项数为奇数，则“奇数项和”-“偶数项和”=此数列的中项.

　　(10)两数的等差中项惟一存在.在遇到三数或四数成等差数列时，常考虑选用“中项关系”转化求解.

　　(11)判定数列是否是等差数列的主要方法有：定义法、中项法、通项法、和式法、图像法(也就是说数列是等差数列的充要条件主要有这五种形式).

　　3.等比数列 中：

　　(1)等比数列的符号特征(全正或全负或一正一负)，等比数列的首项、公比与等比数列的单调性.

　　(3) 、 、 成等比数列; 成等比数列 成等比数列.

　　(4)两等比数列对应项积(商)组成的新数列仍成等比数列.

　　(8)“首大于1”的正值递减等比数列中，前 项积的最大值是所有大于或等于1的项的积;“首小于1”的正值递增等比数列中，前 项积的最小值是所有小于或 ……此处隐藏3681个字……距除以点线距商是等于1.③圆锥曲线的焦半径公式如下图：

　　2.圆锥曲线的几何性质：圆锥曲线的对称性、圆

　　锥曲线的范围、圆锥曲线的特殊点线、圆锥曲线的变化趋势.其中 ，椭圆中 、双曲线中 .

　　重视“特征直角三角形、焦半径的最值、焦点弦的最值及其‘顶点、焦点、准线等相互之间与坐标系无关的几何性质’”，尤其是双曲线中焦半径最值、焦点弦最值的特点.

　　注意：等轴双曲线的意义和性质.

　　3.在直线与圆锥曲线的位置关系问题中，有“函数方程思想”和“数形结合思想”两种思路，等价转化求解.特别是：

　　①直线与圆锥曲线相交的必要条件是他们构成的方程组有实数解，当出现一元二次方程时，务必“判别式≥0”，尤其是在应用韦达定理解决问题时，必须先有“判别式≥0”.

　　②直线与抛物线(相交不一定交于两点)、双曲线位置关系(相交的四种情况)的特殊性，应谨慎处理.

　　③在直线与圆锥曲线的位置关系问题中，常与“弦”相关，“平行弦”问题的关键是“斜率”、“中点弦”问题关键是“韦达定理”或“小小直角三角形”或“点差法”、“长度(弦长)”问题关键是长度(弦长)公式

　　( ， , )或“小小直角三角形”.

　　④如果在一条直线上出现“三个或三个以上的点”，那么可选择应用“斜率”为桥梁转化.

　　4.要重视常见的寻求曲线方程的方法(待定系数法、定义法、直译法、代点法、参数法、交轨法、向量法等), 以及如何利用曲线的方程讨论曲线的几何性质(定义法、几何法、代数法、方程函数思想、数形结合思想、分类讨论思想和等价转化思想等)，这是解析几何的两类基本问题，也是解析几何的基本出发点.

　　注意：①如果问题中涉及到平面向量知识，那么应从已知向量的特点出发，考虑选择向量的几何形式进行“摘帽子或脱靴子”转化，还是选择向量的代数形式进行“摘帽子或脱靴子”转化.

　　②曲线与曲线方程、轨迹与轨迹方程是两个不同的概念，寻求轨迹或轨迹方程时应注意轨迹上特殊点对轨迹的“完备性与纯粹性”的影响.

　　③在与圆锥曲线相关的综合题中，常借助于“平面几何性质”数形结合(如角平分线的双重身份)、“方程与函数性质”化解析几何问题为代数问题、“分类讨论思想”化整为零分化处理、“求值构造等式、求变量范围构造不等关系”等等.

　　九、直线、平面、简单多面体

　　1.计算异面直线所成角的关键是平移(补形)转化为两直线的夹角计算

　　2.计算直线与平面所成的角关键是作面的垂线找射影，或向量法(直线上向量与平面法向量夹角的余角)，三余弦公式(最小角定理， )，或先运用等积法求点到直线的距离，后虚拟直角三角形求解.注：一斜线与平面上以

　　斜足为顶点的角的两边所成角相等 斜线在平面上射影为角的平分线.

　　3.空间平行垂直关系的证明，主要依据相关定义、公理、定理和空间向量进行，请重视线面平行关系、线面垂直关系(三垂线定理及其逆定理)的桥梁作用.注意：书写证明过程需规范.

　　特别声明：

　　①证明计算过程中，若有“中点”等特殊点线，则常借助于“中位线、重心”等知识转化.

　　②在证明计算过程中常将运用转化思想，将具体问题转化 (构造) 为特殊几何体(如三棱锥、正方体、长方体、三棱柱、四棱柱等)中问题，并获得去解决.

　　③如果根据已知条件，在几何体中有“三条直线两两垂直”，那么往往以此为基础，建立空间直角坐标系，并运用空间向量解决问题.

　　4.直棱柱、正棱柱、平行六面体、长方体、正方体、正四面体、棱锥、正棱锥关于侧棱、侧面、对角面、平行于底的截面的几何体性质.

　　如长方体中：对角线长 ，棱长总和为 ，全(表)面积为 ，(结合 可得关于他们的等量关系，结合基本不等式还可建立关于他们的不等关系式)， ;

　　如三棱锥中：侧棱长相等(侧棱与底面所成角相等) 顶点在底上射影为底面外心，侧棱两两垂直(两对对棱垂直) 顶点在底上射影为底面垂心，斜高长相等(侧面与底面所成相等)且顶点在底上在底面内 顶点在底上射影为底面内心.

　　如正四面体和正方体中：

　　5.求几何体体积的常规方法是：公式法、割补法、等积(转换)法、比例(性质转换)法等.注意：补形：三棱锥 三棱柱 平行六面体 分割：三棱柱中三棱锥、四三棱锥、三棱柱的体积关系是 .

　　6.多面体是由若干个多边形围成的几何体.棱柱和棱锥是特殊的多面体.

　　正多面体的每个面都是相同边数的正多边形，以每个顶点为其一端都有相同数目的棱，这样的多面体只有五种， 即正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体.

　　9.球体积公式 ，球表面积公式 ，是两个关于球的几何度量公式.它们都是球半径及的函数.

　　十、导 数

　　1.导数的意义：曲线在该点处的切线的斜率(几何意义)、瞬时速度、边际成本(成本为因变量、产量为自变量的函数的导数). ， (C为常数)， ， .

　　2.多项式函数的导数与函数的单调性：

　　在一个区间上 (个别点取等号) 在此区间上为增函数.

　　在一个区间上 (个别点取等号) 在此区间上为减函数.

　　3.导数与极值、导数与最值：

　　(1)函数 在 处有 且“左正右负” 在 处取极大值;

　　函数 在 处有 且“左负右正” 在 处取极小值.

　　注意：①在 处有 是函数 在 处

　　取极值的必要非充分条件.

　　②求函数极值的方法：先找定义域，再求导，找出定义域的分界点，列表求出极值.特别是给出函数极大(小)值的条件，一定要既考虑 ，又要考虑验“左正右负”(“左负右正”)的转化，否则条件没有用完，这一点一定要切记.

　　③单调性与最值(极值)的研究要注意列表!

　　(2)函数 在一闭区间上的最大值是此函数在此区间上的极大值与其端点值中的“最大值”;

　　函数 在一闭区间上的最小值是此函数在此区间上的极小值与其端点值中的“最小值”;

　　注意：利用导数求最值的步骤：先找定义域 再求出导数为0及导数不存在的的点，然后比较定义域的端点值和导数为0的点对应函数值的大小，其中最大的就是最大值，最小就为最小